Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số lớp 11

Với Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay.

Bạn đang xem: Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số lớp 11


Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

• Nếu uncó dạng un= a1+ a2+ ... + ak+ .. + anthì biến đổi akthành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un.

• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

un + 1− undựa vào đó để tìm công thức tính untheo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:

*
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

*

Hướng dẫn giải:

Ta có:

*

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:

*

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un= −2n . B. un= − 2 + n . C. un= − 2(n+ 1) . D.un= − 2 + 2(n − 1)

Hướng dẫn giải:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên

un= − 2 + 2(n − 1) .

chọn D.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:

*
.Số hạng tổng quát của dãy số này là?

*

Hướng dẫn giải:

Ta có;

*

=> Số hạng thứ n của dãy số là:

*

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với

*
.Số hạng tổng quát uncủa dãy số là số hạng nào dưới đây?

*

Hướng dẫn giải:

Ta có:

*
*

Chọn B.

*

Ví dụ 5:Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

*

Hướng dẫn giải:

Ta thấy:

*

=> Số hạng thứ n là:

*

Chọn A.

Ví dụ 6:Cho

*
. Xác định công thức tính un

*

Hướng dẫn giải:

Ta có:

*
*
*
*

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un= 4n B. un= 2n+ 2 C. un= 2n+ 5 D. un= 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát un= 4n.

Chọn A .

Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un= 7n + 7. B. un= 7n .

C. un= 7n + 1. D. un: Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát un= 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với

*
.Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A. un= nn−1. B. un= 2n.

C. un= 2n+1. D. un= 2n − 1

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

*
*

Hay un= 2n(vì u1= 2)

Chọn B

Ví dụ 10:Cho dãy số (un) với

*
. Số hạng tổng quát uncủa dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un= 1 + n B. un= n(n + 1) C. un= 1 + (−1)2n. D. un= n

Hướng dẫn giải:

* Ta có: un+1= un+ (−1)2n= un+ 1 (vì (−1)2n= ((−1)2)n= 1

=> u2= 2 ; u3= 3; u4= 4; ...

Xem thêm: Cách Làm Kim Chi Bắp Cải Viet Nam Đúng Chuẩn, Ăn Là Ghiền, Cách Làm Kim Chi Bắp Cải Chuẩn Việt Nam Ngon Nhất

Dễ dàng dự đoán được: un= n.

Thật vậy, ta chứng minh được : un= n bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 => u1= 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk= k.

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1= k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: uk+1= uk+ 1= k+ 1

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn D.

Ví dụ 11:Cho dãy số (un) với

*
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un= 2 − n B. không xác định.

C. un= 1 − n. D. un= −n với mọi n.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: u2= 0; u3= −1; u4= −2...

Dễ dàng dự đoán được un= 2 − n.

+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u1= 1 ( đúng)

Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk= 2 − k.

Ta chứng minh: uk+1= 2 − (k+ 1)

Theo giả thiết ta có: uk + 1= uk+ (−1)2k + 1= 2 − k − 1 = 2 − (k+1)

=> điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u10= 971 B. u10= 837 C. u10= 121 D. u10= 760

Hướng dẫn giải:

Xét dãy (un) có dạng: un= an3+ bn2+ cn + d

Theo giả thiết ta có: u1= − 1; u2= 3; u3= 19 và u4= 53

=> hệ phương trình:

*

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.

Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un= n3− 3n+ 1

Số hạng thứ 10: u10= 971 .

Chọn A .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) với

*
. Số hạng tổng quát uncủa dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un= 2 + (n−1)2. B. un= 2 + n2. C.un= 2 + (n+1)2. D. un= 2 − (n−1)2.

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:

*
. Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

A. un= 3 + 5n B. un= 3 + 5.(n+1) C. un= 5.(n−1) D. un= 3 + 5.(n−1)

Câu 3: Dãy số (un) được xác định bằng công thức:

*
. Tính số hạng thứ 100 của dãy số

A. 24502861 B. 24502501 C. 27202501 D. 24547501

Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 2 và un+1= 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?

A. 3. 510 B. 2.519C. 2 . 520 D. 3 . 520

Câu 5: Cho dãy số (un) với

*
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

*

Câu 6: Cho

*
. Xác định công thức tính un

*

Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A.un= 1 B. un= − 1 C. un= (−1)n D. un= (−1)n+1

Câu 8: Cho dãy số (un) với

*
. Số hạng tổng quát uncủa dãy số là số hạng nào dưới đây?

*

Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 3 và un+1= √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ?