Ma trận nghịch đảo là gì

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng biệt và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cung cấp n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là lâu dài. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên tất cả dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Hình như, ma trận đơn vị là độc nhất. Thật vậy, đưa sử gồm nhì ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị chức năng bắt buộc I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cung cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu trường tồn một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.quý khách hàng sẽ xem: Ma trận nghịch đảo 4x4

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là nhất, do mang sử vĩnh cửu ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có tương đối nhiều giáo trình quốc tế sẽ đề cập tới quan niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Thật vậy, đến A là ma trận cấp m x n bên trên ngôi trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ vĩnh cửu ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu mãi mãi ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc ấy, đương nhiên A khả nghịch nếu như A khả nghịch trái với khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập thích hợp những ma trận vuông cấp cho n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

Xem thêm: Những Điều Bạn Cần Biết Về Viêm Bọng Đái Nằm Ở Đâu, Vị Trí, Cấu Tạo & Chức Năng

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch bởi với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta mọi có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hãy thừ chứng tỏ tác dụng trên nhé)

3. Mối quan hệ giới tính giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2) được call là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) giả dụ E thu được tự ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho dòng giỏi cột điện thoại tư vấn thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho loại (xuất xắc cột) hầu như khả nghịch cùng nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp cho chiếc.

Ta rất có thể kiểm soát thẳng công dụng trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 mẫu của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


Ma trận sơ cung cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi kia, những xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy trường đoản cú A do một số trong những hữu hạn các phép thay đổi sơ cấp cho cái (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn gọi hoàn toàn có thể coi chứng tỏ định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, những khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Khi còn chỉ Lúc dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ A do một vài hữu hạn các phép thay đổi sơ cấp cho mẫu (cột); bên cạnh đó, thiết yếu hàng những phép biến hóa sơ cấp mẫu (cột) đó sẽ vươn lên là In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bằng phnghiền thay đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán thù Gausβ – Jordan để tra cứu nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán thù này được desgin dựa vào hiệu quả thứ hai của hệ quả 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Cách 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào mặt buộc phải ma trận A


Lập ma trận bỏ ra kân hận cấp cho n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quy trình biến đổi nếu như A’ mở ra tối thiểu 1 loại ko thì lập tức Kết luận A không khả nghịch (không nhất thiết phải đưa A’ về dạng thiết yếu tắc) với chấm dứt thuật toán thù.

ví dụ như minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch hòn đảo của: